miércoles, 4 de junio de 2014

objetivo

el objetivo de este blogger es para saber un poco mas sobre matemáticas, poner nuestros conocimientos de una forma creativa...

domingo, 1 de junio de 2014

costo marginal, mide la tasa de variación del coste dividida por la variación de la producción. Para comprender mejor el concepto de coste marginal, se suele expresar el coste marginal como el incremento que sufre el coste cuando se incrementa la producción en una unidad, es decir, el incremento del coste total que supone la producción adicional de una unidad de un determinado bien.

Matemáticamente, la función del coste marginal

CMa

es expresada como la derivada de la función del coste total

CT

con respecto a la cantidad

Q

CM={\frac{dCT}{dQ}}

La curva que representa la evolución del costo marginal tiene forma de parábola cóncava, debido a la ley de los rendimientos decrecientes. En el punto mínimo de dicha curva, se encuentra el número de bienes a producir para que los costos en beneficio de la empresa sean mínimos. En dicha curva, el punto de corte con la curva de costes medios nos determina el óptimo de producción, punto a partir del cual se obtiene mayor producción.
En política de precios el coste marginal nos marca el precio a partir del cual obtenemos beneficios, siempre y cuando hayamos alcanzado el umbral de rentabilidad o punto muerto.

conclusión: costo marginal, mide la tasa de variación del coste dividida por la variación de la producción.

bibliografía: http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-costo-marginal.html

Extremos relativos

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

Si f'(a) = 0.

Si f''(a) ≠ 0.

Máximos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

f'(a) = 0

f''(a) < 0

Mínimos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

f'(a) = 0

f''(a) > 0

bibliografía: http://www.vitutor.com/fun/5/c_9.HTML

conclusión:

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Derivadas de orden superior

es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como:

$f'=\{(x,y)/\;y=D_{x}f(x)\}$ para

en el dominio

.
Si para algunos valores $x \in M$ existe el $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}}}$ se dice que existe la segunda derivada de la función

que se denota por

o $D_{x}^{2}f(x)$ , que equivale a $D_{x}[D_{x}f(x)]$ . O sea, la segunda derivada de la función

se obtiene derivando la primera derivada de la función.

bibliografía:http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node11.html

DERIVADAS DE LOGARITMICAS

Derivadas logarítmicas

La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

Como

, también se puede expresar así:

bibliografía: http://www.dervor.com/derivadas/derivada_logaritmo.html

video de derivadas exponenciales

derivadas exponenciales

Derivada de la función exponencial

Derivada de la función exponencial de base e

Ejemplos

bibliografía:http://www.vitutor.com/fun/4/b_3.html

sábado, 31 de mayo de 2014

La regla de la cadena y la regla de la potencia

La regla de la cadena Si u es una función diferenciable de x, y f es una función diferenciable de u, entonces f es una función diferenciable de x, y:

[f(u)]

f'(u)

Ejemplo Tomando f(x) = x³, obtenemos

u³

3u²

En palabras:

La derivada de una cantidad al cubo es igual a 3 veces la cantidad (original) al cuadrado por la derivada de la cantidad.

A veces se refiere a esto como un ejemplo de la regla generalizada de las potencias. Más ejemplos

(1+x²)³

3(1+x²)²

(1+x²)

La derivada de una cantidad al cubo es 3 veces la cantidad (original) al cuadrado por la derivada de la cantidad.

3(1+x²)²^,2x

6x(1+x²)²

(x+x²)³

2(x+x²)^-3

2(-3)(x+x²)^-4

(x+x²)

La derivada de una cantidad elevada a la -3 es -3 veces la cantidad (original) elevada a la -4 por la derivada de la cantidad.

-6(x+x²)^-4

(1+2x)

-6(1+2x)

(x+x²)⁴ http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorials/frames3_2.html

jueves, 29 de mayo de 2014

reglas de derivacion

Derivada de una constante por una función

H) f es derivable en x=a
T) (kf(a))' = k.f'(a)

Demostración:

                                              f'(a)
                                         ------^------    
                 k.f(x) - k.f(a)         (f(x) - f(a))
(k.f(a))' = lim ---------------- = lim k ------------- = k.f'(a)
            x->a      x - a        x->a      x - a

Nota:

El teorema anterior da el valor de la derivada en el punto a. Como a es un punto genérico, lo sustituimos por x y tenemos la función derivada:
(kf)'(x) = k.f'(x), si f es derivable en x.

Derivada de la suma

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función.

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f+g es derivable en x=a
(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)

Demostración:

                (f+g)(x) - (f+g)(a)       f(x) + g(x) - f(a) - g(a)
(f+g)'(a) = lim ------------------- = lim -------------------------
            x->a      (x-a)           x->a         (x-a)
   
                f(x) - f(a)    g(x) - g(a)
          = lim ----------- + ------------ = f'(a) + g'(a)
            x->a   (x-a)          (x-a)

Notas:

En general (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x), si f y g son derivables en x.
El teorema se extiende a más de dos funciones.

Derivada del producto

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f.g es derivable en x=a
(f.g)'(a) = f'(a).g(a) + f(a).g'(a)

Demostración:

                (f.g)(x) - (f.g)(a)       f(x).g(x) - f(a).g(a)
(f.g)'(a) = lim ------------------- = lim --------------------
            x->a      (x-a)           x->a       (x-a)

      f(x).g(x) - f(a)g(a) + f(a)g(x) - f(a)g(x)
= lim ------------------------------------------ =
  x->a                 (x-a)

             f'(a)               g'(a)
(*) g(a) -----^-----         -----^-----
    -^- (f(x) - f(a))       (g(x) - g(a))
lim g(x)------------- + f(a)------------- = f'(a).g(a) + g'(a).f(a)
x->a        (x-a)               (x-a)

(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a
=> (def. de continuidad) existe g(a) y lim_x->ag(x)=g(a).
Notas:

(f.g)'(x) = f'(x).g(x) + f(x).g'(x).
Generalización para tres funciones: (f(x).g(x).h(x))' = f'(x).g(x).h(x) + f(x).g'(x).h(x) + f(x)g(x).h'(x)

Derivada del cociente

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a, g(a) distinto de 0
T) f/g es derivable en x=a
(f/g)'(a) = (f'(a).g(a) - f(a).g'(a))/g²(a)

Demostración:

                (f/g)(x) - (f/g)(a)       f(x)/g(x) - f(a)/g(a)
(f/g)'(a) = lim ------------------- = lim ---------------------
            x->a       x - a          x->a        x - a

      f(x)g(a) - g(x)f(a) + f(a)g(a) - f(a)g(a)
= lim ----------------------------------------- =
  x->a             (x - a)g(x)g(a)

             f'(a)               g'(a)
         -----^-----         -----^-----
        (f(x) - f(a))       (g(x) - g(a))
    g(a)------------- -  f(a)-------------    g(a)f'(a) - f(a)g'(a)
lim         x - a               x - a       = --------------------
x->a ------------------------------------          g²(a)
              g(x)g(a)
               '--> g(a) (*)

(*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a
=> (def. de continuidad) existe g(a) y lim_x->ag(x)=g(a).
Nota:

(f/g)'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/g²(x).

Derivada de la función compuesta

Regla de la cadena

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=f(a)
T) gof es derivable en x=a
(gof)'(a) = g'[f(a)].f'(a)

Demostración:

                               g[f(x)] - g[f(a)]
(gof)'(a) = [g[f(x)]'(a) = lim ----------------- =
                           x->a     x - a

            g'[f(a)]        f'(a)
     --------^--------  ----^----
     g[f(x)] - g[f(a)]   f(x) - f(a)
lim ------------------ . ---------- = g'[f(a)].f'(a)
x->a   f(x) - f(a)         x - a

Nota:

(gof)'(x) = g'[f(x)].f'(x).

bibliografía:http://matematica.50webs.com/reglas-de-derivacion.html

Diferenciabilidad y continuidad

Derivada; Diferenciabilidad
La derivada de una función f en el punto a en su dominio se define por

f'(a)

lim
h

f(a+h) - f(a)

Decimos que la función f es diferenciable en el punto a en su dominio si f'(a) existe. Diferenciable en un subconjunto del dominio
La función f es diferenciable en el subconjunto S de su dominio si es diferenciable en cada punto de S. Nota

Una función puede fallar ser diferenciable en el punto a si

lim
h

f(a+h) - f(a)

no existe, o es infinito.

En el primer caso, a veces tenemos una cúspide en la gráfica, y en el último caso, obtenemos un punto de tangencia vertical.

bibliografía:http://www.zweigmedia.com/MundoReal/calctopic1/contanddiffb.html

Derivada como razón de cambio

Diferenciación de funciones por incrementos

Este tipo de derivadas no cuenta con una formula especifica. Las reglas que se tienen que seguir para poder solucionar las derivadas por incremento es de la siguiente manera. De la formula inicial se le agrega en el conjunto que tiene la variable,Delta "x" o Incremento simbolizado . Despues de la formula que tiene se le resta la formula original. posteriormente se soluciona como un limite dividiendo el resultado entre y de esta manera se soluciona una derivada por incremento.

Bibliografía: http://www.angelfire.com/planet/reivaj7890/derivadas_por_incremento.htm